Các bài toán về dãy số lớp 5 cơ bản và nâng cao kèm đáp án PDF dưới đây sẽ giúp các em ôn luyện lại kiến thức cũng như biết cách giải các bài toán về dãy số ở dạng cơ bản và nâng cao.
Mời các em tham khảo!
>>> Xem thêm:
Các dạng toán về cấu tạo số lớp 5
I. Kiến thức cần nhớ về dãy số lớp 5
Một số công thức liên quan đến dãy số cách đều:
🔸 Tính số số hạng của dãy số cách đều (viết theo thứ tự tăng dần)
| Số số hạng = (Số hạng cuối – Số hạng đầu) : Khoảng cách + 1 |
🔸 Tính tổng các số hạng của dãy số cách đều (viết theo thứ tự tăng dần)
| Tổng các số hạng = (Số đầu + Số cuối) x Số số hạng : 2 |
🔸 Tìm 1 số hạng biết số thứ tự của nó trong dãy số cách đều (viết theo thứ tự tăng dần)
| Số hạng thứ n = (n − 1) x Khoảng cách + Số hạng đầu tiên |
🔸 Tìm số cuối biết số hạng đầu tiên của nó trong dãy số cách đều (viết theo thứ tự tăng dần)
| Số cuối = (Số số hạng − 1) x Khoảng cách + Số hạng đầu tiên |
🔸 Tìm số hạng đầu tiên biết số cuối của nó trong dãy số cách đều (viết theo thứ tự tăng dần)
| Số hạng đầu tiên = Số cuối – (Số số hạng – 1) x Khoảng cách |
⛔ Lưu ý: “Khoảng cách” ở trên được hiểu là Khoảng cách giữa hai số hạng liên nhau
II. Các dạng toán về dãy số lớp 5
📖 Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số
Ví dụ: Cho dãy số: 3, 6, 9, __, __. Hãy điền thêm 2 số tiếp theo vào dãy số trên.
Hướng dẫn giải:
Dãy số đã cho là một dãy số tăng đều. Để tìm quy luật, ta thực hiện phép tính:
6 – 3 = 3; 9 – 6 = 3.
Như vậy, đây là dãy số cách đều với khoảng cách giữa các số liên tiếp là 3.
Vậy số tiếp theo sau 9 là 9 + 3 = 12.
Số tiếp theo sau 12 là 12 + 3 = 15.
Đáp án: Dãy số đầy đủ là: 3, 6, 9, 12, 15.
📖 Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không?
Ví dụ: Cho dãy số: 1,3,5,7,… (các số lẻ liên tiếp). Hỏi số 50 có thuộc dãy số này không?
Hướng dẫn giải:
Dãy số đã cho là dãy các số lẻ bắt đầu từ 1, với công thức tổng quát: an = 2n – 1; trong đó n là số tự nhiên và n ≥ 1.
Để xác định số 50 có thuộc dãy hay không, ta giải phương trình:
50 = 2n – 1
2n = 50 + 1 = 51
n = 51/2 = 25.5
Vì n = 25.5 không phải là số tự nhiên nên 50 không thuộc dãy số đã cho.
📖 Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy số
Ví dụ: Cho dãy số: 5,10,15,…,100. Hỏi dãy số này có bao nhiêu số hạng?
Hướng dẫn giải:
Ta thấy:
Số đầu tiên là 5.
Số thứ hai là 10.
Số thứ ba là 15.
...
Mỗi số trong dãy có thể được viết như sau:
Số 100 = 5 + 5 x (số thứ tự − 1)
Bây giờ, chúng ta tìm số thứ tự:
100 = 5 + 5 x (số thứ tự − 1)
100 − 5 = 5 x (số thứ tự − 1)
95 = 5 x (số thứ tự − 1)
Số thứ tự − 1 = 95/5 = 19
Số thứ tự = 19 + 1 = 20
Vậy dãy số có tất cả 20 số hạng.
📖 Dạng 4: Tìm số hạng thứ n của dãy số
Ví dụ: Cho dãy số: 3, 6, 9, 12,… Hỏi số hạng thứ 15 của dãy số này là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Dãy số đã cho tăng đều, mỗi số sau cách số trước 3.
Số đầu tiên là 3, số thứ hai là 6, số thứ ba là 9, ...
Mỗi số hạng được tính bằng cách lấy số đầu tiên cộng thêm nhiều lần 3 (tức là bước nhảy).
Nếu số đầu tiên là a = 3 và mỗi lần thêm 3 thì số hạng thứ n = 3 + (n − 1) x 3
Thay n = 15 vào công thức, ta có:
Số hạng thứ 15 = 3 + (15 – 1) x 3 = 45
Vậy số hạng thứ 15 của dãy số trên là 45.
📖 Dạng 5: Tìm số chữ số của dãy khi biết số số hạng
Ví dụ: Cho dãy số: 1, 2, 3,…, 100. Hỏi dãy số này có tổng cộng bao nhiêu chữ số?
Hướng dẫn giải:
Ta cần tính tổng số chữ số của các số từ 1 đến 100. Chia thành các nhóm như sau:
✔️ Nhóm 1: Các số có 1 chữ số (từ 1 đến 9): Có 9 số, mỗi số có 1 chữ số.
Tổng số chữ số của nhóm này là: 9 x 1= 9
✔️ Nhóm 2: Các số có 2 chữ số (từ 10 đến 99): Có 99 – 10 + 1 = 90 số, mỗi số có 2 chữ số.
Tổng số chữ số của nhóm này là: 90 x 2 = 180
✔️ Nhóm 3: Các số có 3 chữ số (chỉ có 100): Có 1 số, mỗi số có 3 chữ số.
Tổng số chữ số của nhóm này: 1 x 3 = 3
Tổng số chữ số của cả dãy là: 9 + 180 + 3 = 192
Vậy dãy số trên có tất cả 192 chữ số.
📖 Dạng 6: Tìm số số hạng khi biết số chữ số của dãy số
Ví dụ: Một dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1. Dãy số này có tổng cộng 189 chữ số. Hỏi dãy số có bao nhiêu số hạng?
Hướng dẫn giải:
Ta cần tìm số số hạng của dãy số có tổng cộng 189 chữ số. Chia thành các nhóm như sau:
✔️ Nhóm 1: Các số có 1 chữ số (từ 1 đến 9): Có 9 số, mỗi số có 1 chữ số.
Tổng số chữ số của nhóm này: 9 x 1 = 9
✔️ Nhóm 2: Các số có 2 chữ số (từ 10 đến 99): Có 90 số, mỗi số có 2 chữ số.
Tổng số chữ số của nhóm này là: 90 x 2 = 180
Tổng chữ số đến hết số 99 là: 9 + 180 = 189
Vì tổng số chữ số của dãy đúng bằng 189, nên dãy số dừng lại ở số 99.
Vậy dãy số trên có tất cả 99 số hạng.
📖 Dạng 7: Tìm chữ số thứ n của dãy số
Ví dụ: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp: 1,2,3,4,… Hỏi chữ số thứ 15 của dãy số này là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Để tìm chữ số thứ 15, ta làm như sau:
Nhóm các chữ số theo độ dài:
✔️ Nhóm 1: Các số có 1 chữ số (từ 1 đến 9): Có 9 số, mỗi số 1 chữ số.
Tổng số chữ số của nhóm này là: 9 x 1 = 9
Như vậy, chữ số thứ 15 không nằm trong nhóm này.
✔️ Nhóm 2: Các số có 2 chữ số (từ 10 đến 99): Có 90 số, mỗi số 2 chữ số.
Tổng số chữ số của nhóm này là: 90 x 2 = 180
Số chữ số còn lại để tìm là: 15 – 9 = 6
Vậy chữ số thứ 15 nằm trong nhóm này, cụ thể là chữ số thứ 6 trong các số 2 chữ số.
Chữ số thứ 6 trong các số 2 chữ số thuộc về vị trí thứ 6 : 2 = 3 (số thứ 3 trong nhóm 2).
Các số 2 chữ số là: 10,11,12,…
Số thứ 3 là 12.
Chữ số thứ 6 là chữ số thứ 2 của số 12.
Chữ số đó là 2.
Vậy chữ số thứ 15 của dãy số là 2.
📖 Dạng 8: Tìm số hạng thứ n khi biết tổng của dãy số
Ví dụ: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7,… Biết tổng của dãy số là 100. Hỏi số hạng cuối cùng (số hạng thứ n) của dãy số này là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Dãy số đã cho là dãy các số lẻ liên tiếp, bắt đầu từ 1. Tổng của n số hạng đầu tiên trong dãy số được tính theo công thức:
| Sn = n2 |
trong đó:
- Sn là tổng của n số hạng đầu tiên,
- n là số thứ tự của số hạng cuối cùng.
Biết tổng của dãy là 100, ta thay vào công thức ta có:
Sn = n2
ó 100 = n2
ó n = √100 = 10
Dãy số này có công thức tính số hạng thứ n như sau: an = 2n – 1
Thay n = 10 vào ta có:
a10 = 2 x 10 − 1 = 20 – 1 = 19.
Vậy số hạng cuối cùng của dãy số là số 19.
📖 Dạng 9: Tính tổng của dãy số
Ví dụ: Tính tổng của dãy số: 2, 4, 6,…, 20.
Hướng dẫn giải:
Dãy số đã cho là một dãy số chẵn liên tiếp, bắt đầu từ 2 và kết thúc ở 20.
Ta sử dụng công thức tính tổng của một dãy số:
| Sn = n/2 x (a1 + an) |
trong đó:
- Sn là tổng của n số hạng đầu tiên,
- n là số lượng số hạng trong dãy,
- a1 là số hạng đầu tiên,
- an là số hạng cuối cùng.
Dãy số tăng đều với khoảng cách giữa các số là 2.
Công thức tính số lượng số hạng là:
n = [(an – a1)/d] + 1; trong đó d = 2 là khoảng cách giữa các số.
Thay a1 = 2 và an = 20 vào công thức trên, ta có:
n = [(20 – 2)/2] + 1 = 10
Thay các giá trị vào công thức tính tổng ta được:
Sn = (10/2) x (2 + 20) = 110
Vậy tổng của dãy số 2, 4, 6,…, 20 là 110.
📖 Dạng 10: Dạng toán về dãy chữ
Ví dụ: Cho dãy chữ: A, B, C, D, E, F,… Hỏi chữ cái thứ 15 trong dãy là chữ gì?
Hướng dẫn giải:
Dãy chữ gồm các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh, bắt đầu từ A, B, C, ... và đi tuần tự.
Trong bảng chữ cái tiếng Anh có 26 chữ cái. Nếu vượt qua chữ Z, dãy chữ sẽ quay lại bắt đầu từ A.
Vì 15 nhỏ hơn 26, chữ cái thứ 15 nằm trong bảng chữ cái từ A đến Z.
Sử dụng bảng chữ cái: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P,…
Chữ cái thứ 15 là O.
Vậy chữ cái thứ 15 là O.
III. Bài tập luyện tập về dãy số lớp 5 cơ bản và nâng cao
🔻 Bài 1. Tìm quy luật và viết thêm 3 số hạng còn thiếu vào dãy số:
a) 5; 6; 11; 17; 28;...
b) 0; 1; 2; 4; 7; 12;....
c) 0; 1; 3; 6; 10; 15;....
d) 3; 12; 30; 57; 93;...e) 1; 3; 3; 9; 27;...
g) 1; 1; 3; 5; 17;....
h) 1; 100; 7; 93; 13; 86; ...
🔻 Bài 2. Tìm số hạng đầu tiên của dãy số sau biết rằng mỗi dãy số đều có 10 số hạng:
a) ...; 32; 36; 40
b) ...; 44; 49; 54
c) ...; 63; 80; 99
🔻 Bài 3. Tìm số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau:
a) ...; 96; 99; 102 (Dãy có 20 số hạng)
b) ...; 102; 97; 92 (Dãy có 25 số hạng)
🔻 Bài 4. Tìm số hạng thứ 100 của dãy sau:
a) 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49;...
b) 5; 10; 17; 26; 37; 50; ...
c) 2; 6; 12; 20; 30; 42;...
🔻 Bài 5. Cho dãy số: 2; 5; 8; 11; 14; ...
a) Tìm số hạng thứ 100 của dãy.
b) Hãy cho biết trong các số 2009; 2010; 2011; 2012 số nào thuộc dãy? Vì sao? Nếu thuộc nó là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
c) Tính tổng 60 số hạng đầu tiên của dãy.
🔻 Bài 6.
a) Viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1000. Hỏi phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số?
b) Viết các số chẵn liên tiếp từ 0 đến 2024. Hỏi phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số?
🔻 Bài 7. Để đánh số trang của một quyển sách dày 238 trang cần dùng bao nhiêu chữ số?
🔻 Bài 8. Để đánh số trang của một quyển sách người ta phải dùng tất cả 234 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang?
🔻 Bài 9. Viết liên tiếp các số tự nhiên 12345678... để được một số có 2025 chữ số. Chữ số hàng đơn vị của số đó bằng bao nhiêu?
🔻 Bài 10. Cho dãy số 11; 14; 17; 20; ...
a) Chữ số thứ 166 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào?
b) Tính tổng của 130 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
🔻 Bài 11. Cho dãy các số tự nhiên liên tiếp: 1; 2; 3; 4; 5; ... ; 2025.
a) Để viết các số của dãy phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số?
b) Dãy có tất cả bao nhiêu chữ số 1? Bao nhiêu chữ số 0?
🔻 Bài 12. Trong các số từ 1 đến 2024 có bao nhiêu số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 3?
🔻 Bài 13. Trong các số tự nhiên từ 1 đến 252; xóa các số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5, rồi xóa các số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2. Hỏi còn lại bao nhiêu số?
🔻 Bài 14. Cho dãy số: 12; 16; 20; 24; 28; ...
a) Tìm số hạng thứ 90 của dãy.
b) Hãy cho biết trong các số 2012; 2013; 2014; 2015 số nào thuộc dãy? Vì sao? Nếu thuộc nó là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
c) Tính tổng 50 số hạng đầu tiên của dãy.
🔻 Bài 15. Người ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên chẵn liên tiếp:
24681012141618202224...
Hỏi chữ số thứ 2000 của dãy trên là chữ số nào?
🔻 Bài 16. Cho dãy số 10, 11, 12, 13, …., x. Tìm x để tổng của dãy số trên bằng 5106.
🔻 Bài 17.
a) Tính tổng các chữ số của dãy số tự nhiên liên tiếp 1; 2; 3; 4; 5; 6; ...; 298; 299.
b) Tính tổng các chữ số của dãy số tự nhiên liên tiếp 5; 6; 7; 8; ... ; 2004; 2005.
🔻 Bài 18. Viết các số tự nhiên liên tiếp liền nhau để tạo thành số có nhiều chữ số:
123456789101112131415...
Người ta nhận thấy rằng từ chữ số thứ 11 của số đó xuất hiện 3 chữ số 1 liền nhau.
a) Hỏi có thể xuất hiện đúng 4 chữ số 1 liền nhau hay không? Vì sao?
b) Bắt đầu từ chữ số thứ bao nhiêu của số đó, xuất hiện 5 chữ số 2 liên tiếp?
🔻 Bài 19. Một người viết liên tiếp chữ QUYET TAM HOC GIOI QUYET TAM HOC GIOI…
a) Hỏi chữ cái thứ 2000 là chữ cái nào?
b) Người ta đếm được trong dãy có 100 chữ T. Hỏi có bao nhiêu chữ I, bao nhiêu chữ A?
c) Tô màu lần lượt các tiếng bởi các màu Xanh, Đỏ, Tím, Vàng, Nâu... Hỏi tiếng thứ 2025 được tô màu gì? Chữ Y thứ 500 được tô màu gì?
🔻 Bài 20. Có 2024 học sinh của một trường học xếp thành một hàng dài và họ sẽ đọc to các số theo một quy luật như sau: Nếu học sinh đọc số có 1 chữ số thì học sinh tiếp theo sẽ đọc số gấp 2 lần số của học sinh đó. Nếu học sinh đọc số có 2 chữ số thì học sinh tiếp theo sẽ đọc số bằng tổng của 9 và hàng đơn vị của số có hai chữ số đó. Nếu học sinh đầu tiên đọc số 1, khi đó học sinh cuối cùng đọc số nào?
🔻 Bài 21. Người ta xếp các số tự nhiên liên tiếp kể từ 1 thành 4 cột như hình dưới đây. Hỏi số 2025 nằm ở cột nào?
A | B | C | D |
1 | 2 | 3 | 4 |
8 | 7 | 6 | 5 |
9 | 10 | 11 | 12 |
16 | 15 | 14 | 13 |
… | … | … | … |
🔻 Bài 22. Người ta xếp các số tự nhiên lẻ liên tiếp kể từ 1 thành 4 cột như hình dưới đây. Hỏi số 2025 nằm ở cột nào?
A | B | C | D | E |
1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
| 17 | 15 | 13 | 11 |
19 | 21 | 23 | 25 |
|
| 33 | 31 | 29 | 27 |
35 | 37 | 39 | 41 |
|
| … | … | … | … |
>>> Tải file bài tập dưới dạng PDF tại đây!!!
IV. Đáp án
>>> Tải file đáp án tại đây!!!
Hi vọng rằng các bài toán về dãy số lớp 5 cơ bản và nâng cao kèm đáp án PDF ở trên đã giúp các em học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài tập tương tự và đạt điểm cao hơn trong các bài thi, bài kiểm tra. Các bài tập và đáp án ở trên đều có sẵn trong cuốn 250+ bài toán chọn lọc lớp 5. Các em hãy mua ngay cuốn sách này để học tốt môn Toán hơn nhé!
Link đọc thử sách: https://drive.google.com/file/d/1EnnjMiJ4MNEGPFR-Ar9WSRiPIzcLcBaQ/view
Đừng quên tải xuống file PDF để có tài liệu học tập hữu ích và đồng hành cùng con em mình trong hành trình chinh phục Toán học!
Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao!
